저전거도로상에서의 자전거간 사고입니다

지난 6월 7일 한강자전거도로상에서 가해상대방이 갑자기 진로방향을 바꾸어 제 자전거 중간부분을 충격하여 상기와 같은 사고가 발생하였습니다.
가해자와는 보험처리하기로 하였습니다.
가해보험사측에서는 위 사고는 '교통사고'가 아닌 '일상생활사고'라 단순일반손해보험상의 "일상생활배상책임'특약을 근거로
치료비와 위자료를 합한 금액에서 과실상계를 하여 지급한다고 합니다.
(가해자의 경우 종합보험이 아닌 일반상해(손해?)보험만 가입된 상태입니다)
위와같은 사고의 경우 '교통비'는 지급대상이 아니라 지급할 수 없다고 하며
위자료의 경우에도 향후 물리치료등을 계속해야 하는 점등에 비추어 제가 생각한 바와는 낮게 책정된 것 같습니다.
이런저런 점등을 빌어 반박하였지만 교통사고도 아닌 일상사고이고 약관상 책임한도가 어떻다는 등 하면서
더이상 합의는 불가하며 위 조건을 수용할 수 없다면 자기를 상대로 소송하라고 합니다.

질문의 요지는 다음과 같습니다.
첫째, 자전거간 사고도 도로교통법상 '교통사고' 일종인데 종합보험이 아닌 일반보험상의 일상생활배상책임 특약상 근거로 해결이 가능합니까?
(인터넷 검색해보니 어떤 보험사는 위와같은 경우 특약적용 대상이 아니라 자전거는 결구 무보험차량이 되어 개별합의를 해야한다는 것도 본 것 같습니다)

둘째 , 어차피 민사합의라 제가 동의한다면 가능하다는 생각이 들긴 합니다.
그런데 문제는 일상사고라 통원치료의 경우 책임한도 약관상 교통비지급은 불가하다고 합니다.
(제가 가장 이해할 수 없는 부분이 이것입니다. 일상사고이든 교통사고인든 통원교통비는 당연히 치료비와 함께 지급되어야 하는 것 아닙니까?

셋째, 초진 전치 6주 정도의 진단이고 3개월가량 의사진료 받았으며 현재는 물리치료만 계속하고 있습니다.
부상정도나 부상부위 치료기간 향후진료비 등을 감한할 때 위자료 40만원은 적정합니까?

너무 두서없이 질문만 많은 것같아 너무 죄송합니다.
모쪼록 업무에 지장이 안된다면 변호사님의 소중한 답변 기다립니다.
감사합니다.